布尔代数定律和定理

布尔代数是数字电子学中用于数字逻辑的一种数学代数形式。Albebra由一个命题(一般是数学命题)的符号表示组成。类似地，在布尔代数中也有表达式、方程和函数。

任何逻辑设计的主要目的都是尽可能地简化逻辑，从而使最终实现变得容易。为了简化逻辑，必须简化表示逻辑的布尔方程和表达式。

因此，为了简化布尔方程和表达式，提出了一些定律和定理。使用这些定律和定理，可以很容易地简化或减少任何布尔表达式或函数的逻辑复杂性。

本文展示了一些最常用的法律和定理是布尔代数。

基本法律及证明

布尔代数系统的基本规律被称为“布尔代数定律”。布尔代数的一些基本定律(规则)是

我结合律。

2分配律

3交换律

四、吸收法

诉法律共识

结合律

加法结合律

声明:

加法结合律是指对两个以上的变量，即对变量进行数学加法运算，无论方程中变量的分组如何，都将返回相同的值。
它涉及到在组中交换变量。

使用OR算子的结合律可以写成

+ (B + C) = (A + B) + C

证明:

如果A、B、C是三个变量，那么每组2个变量的3个变量分组为(A + B)、(B + C)、(C + A) 3种类型。

根据结合律

(A + B + C) = (A + B) + C = A + B (B + C) = + (C + A)

我们知道，A + AB = A(根据吸收定律)

假设x = A + (B + C) y = (A + B) + C

根据结合律，我们需要证明x = y。

现在，找到AX = A [A +（B + C）]

= a + a (b + c)

= A + AB + AC→since AA = A

(a + ab) + ac

since A + AB = A

= a→由于a + ac = a

因此Ax = A

同样，对于Bx = B [A + (B + C)]

= ab + b (b + c)

= ab + bb + BC

= AB + B + BC→since BB = B

= (b + bc) + ab

= B + AB→since B + BC = B

= B→since B + AB = B

利用上述方程，我们可以说，A、B、C与+算子的关系与其他变量如x相乘时不变，如xy = yx = x = y。

x = (A + B) + C) x

= (A + B) x + Cx

= (Ax + Bx) + Cx

(a + b) + c

= y xy =（a +（b + c））y

= Ay + (B + C) y

= Ay + (By + Cy)

= a + (b + c)

= x

所以x = y，也就是A + (B +C) = (A + B) +C = B + (A +C)

例子

取三个变量0 1 0，然后

根据结合律，

(0 + 1) + 0 = 0 + 1 + 0

1 + 0 = 0 + 1

1 = 1

从而验证了结合律。

因此，证明了联合法（A + B + C）=（A + B）+ C = A +（B + C）= B +（C + A）

乘法结合律

声明:

乘法结合律是指ANDing两个以上的变量，即对变量进行数学乘法运算，无论方程中变量的分组如何，都将返回相同的值。

使用AND运算符的结合律可以写成

A * (b * c) = (A * b) * c

分配律

这是布尔代数中最常用和最重要的法则，涉及到两个运算符:and和OR。

语句1:

两个变量相乘并将结果与一个变量相加得到的结果与该变量与单个变量相加得到的结果相同。

换句话说，两个变量的和与另一个变量的和等于变量与两个单独变量的和与。

分配律可以写成

A + b = (A + b)(A + c)

这叫做OR除以AND。

证明:

如果A B C是三个变量

A + BC = A*1 + BC→since A*1 = A

A (1 + B)+ BC→since 1 + B = 1

= a * 1 + ab + BC

= a *（1 + c）+ ab + bc→由于a * a = a * 1 = a

= a *(a + c) + b (a + c)

= (a + c) (a + b)

A + b = (A + b) (A + c)

由此证明了分配律。

声明2:

添加两个变量并将结果与​​变量乘以将导致相同的值作为添加变量与单独变量的乘法。

换句话说，使用两个变量的两个变量和anding结果与两个单独的变量等于或变量的and。

分配律可以写成

A (b + c) = (A b) + (A c)

这叫做AND除以OR。

证明:

A (B + C) = A (B*1) + A (C*1)→since 1 * B = B, 1 * C = C

= [（ab）*（a * 1）] + [（ac）*（a * 1）]

=[(ab) * a] + [(ac) * a]

=（a +1）（ab + ac）

=（ab + ac）→自1 + a = 1

由此证明了分配律。

例子:

取三个变量0 1 0，然后

根据分配律，

0 (1 + 0) = (0*1) + (0*0)

0 (1) = (0) + (0)

0 = 0.

从而验证了分配律。

交换律

声明:

交换律是指布尔方程中操作数顺序的互换不会改变其结果。

• 使用OR运算符→A + B = B + A
• 使用AND运算符→A * B = B * A

这条法则在布尔代数中也有更多的优先权。

例子:

取2个变量1和0

1 + 0 = 0 + 1

1 = 1

同样的,

1 * 0 = 0 * 1

0 = 0.

吸收法

吸收法涉及链接一对二元操作。

i. A+AB = A

2一个(A + B) =

3+ĀB = A + B

iv. A.(Ā+B) = AB

第三和第四条法律也称为冗余法。

表述一:A + AB = A

证明:

A + AB = A + AB→since A = A

A(1+B)→since 1+B = 1

= .

=一个

表述二:A (A + B) = A

证明:

A (A + b) = A + A + A

= A+AB→since A。一个=

= a (1 + b)

= .

=一个

声明3:A + Āb = A + b

证明:

A+ ĀB = (A+ Ā) (A+B)→since A+BC = (A+B)(A+C

= 1 * (A + B)→since A + Ā = 1

= A + B

表述4:A * (Ā+B) = AB

证明:A * (Ā + B) = A Ā + AB

= AB→since A Ā = 0

布尔代数对偶原理

声明:

对偶原理指出:“表达式的对偶可以通过将AND运算符替换为or运算符，以及将二进制变量替换为0，如将1替换为0，将0替换为1来实现”。
这条定律解释了替换变量并不会改变布尔函数的值。

但是在交换变量名的同时，也必须改变二进制操作符。如果一个方程或函数的运算符和变量虽然交换了，但对方程的输出不产生变化，则称为“对偶”。

二元原则也被称为“de morgan duality”，它指出“在布尔代数中的双重对的互换将导致等式的输出相同”。

在对偶性中有一种特殊类型的操作，那就是“自我对偶”。一个自双操作处理输入到输出，而不做任何更改。所以这也叫做“不做操作”。

例子:

如果我们有一个布尔方程A + B = 0，那么将变量0替换为1，将OR运算符替换为and运算符形成的方程是A * B = 1。这意味着这两个布尔函数都代表了逻辑电路的运行。

根据对偶原理，如果A、B是两个变量，那么在同一个逻辑电路中，方程A + B = 0和A * B = 1都为真。

使用二元性简化布尔函数

用对偶性概念简化布尔函数的例子

(a + b ' c) ' = a ' b ' c + a ' b ' c + a ' b ' c

= a ' b (c + c ') + (b + b ') a ' c '

= a ' b + a ' c '–––––––-> (1)

两边取倒数，方程就变成

（a + b'c）=（a + b'）（a + c） - - - - - - - - >（2）

如果我们观察方程1和2，我们可以发现and算子和OR算子互换了。由此证明了对偶定理。

根据对偶原理，采用最大项(SOP)法和平均项(POS)法对布尔函数进行简化。

SOP方法是指，总和产品。该方法将布尔变量的最大项写成它们的乘积和。

POS法意味着，和的乘积。该方法将布尔变量的最小项写成它们和的乘积。

我们将在后续教程中简要讨论这些主题。西汉姆必威

德摩根定理

布尔代数涉及二进制数的二进制加、二进制减、二进制除和二进制乘。与这些基本定律相似，布尔代数系统主要依赖于另一个重要定理。这就是德摩根定律。

这也可以称为德摩根定理。这一法则取决于二元性的概念。对偶性是指交换函数中的运算符和变量，如将0替换为1，将1替换为0，将and运算符替换为OR运算符，将OR运算符替换为and运算符。

德摩根定律是对偶原理的延伸。德·摩根提出了两个定理，有助于我们解决数字电子学中的代数问题。

德·摩根的陈述是，

声明1:

连词的否定就是否定的分离。或者我们可以把它定义为，两个变量乘积的补和等于单个变量的补和。

(a . b) ' = a ' + b '

声明2:

“分离的否定是否定的合取”。或者我们可以把它定义为，两个变量和的补和等于每个变量的补和的乘积。

(a + b) ' = a '。B”

真值表

通过使用真相表简单地解释了De Morgan的法律。

De Morgan第一个命题((A.B) ' = A ' + B ')的真值表如下所示。

所以德摩根第一定律也可以表示为"非(A和B)等于(非A)或(非B) "

下面给出了De Morgan第二个命题((A + B) ' = A ' .B ')的真值表。

所以德摩根第一定律也可以表示为"非(A或B)等于(非A)和(非B) "

Demorgan在盖茨的定理

德摩根定理可以用与门、或门等基本逻辑门来证明。

语句1:(A.B) ' = A ' + B '

aNAND门(输出侧带有NOT门的AND门)的输出等于OR门的输入端连接两个NOT门形成的门的输出。这可以说，

起泡或门

表述二:(A + B) ' = A '。B”

NOR门(输出侧带有NOT门的OR门)的输出等于与门的输入端连接两个NOT门形成的门的输出。这可以说，

或门=起泡和门

让我们看一些例子来理解如何使用德摩根定理来简化布尔方程。

例1：

用德摩根定理简化下面的布尔方程。

F =((a . b̅)̅)。(b̅+ c))̅

索尔:

假设F = ((A . b̅)̅)。(b̅+ c))̅

= ((a .b̅)̅)̅+ ((b̅+ c))̅

= (a .b̅)+ (b̅̅.c̅)

= (a .b̅)+ (b.c̅)

因此，给定方程的简化形式为F = (A .B̅)+ (B.C̅)

示例2

对设计不好的逻辑电路进行简化，得到输出方程的简化布尔方程。

索尔:

在给定电路中，输出方程为:

F2= ((a̅+ c).((ab)̅))̅

=（（a̅+ c）̅）+（ab）̅̅

= (a̅+ c)̅)+ ab

=（a̅̅c̅）+ ab

= (ac̅)+ (ab)

因此，给定电路的简化输出isF2 = (AC̅)+ (AB)。

共识定理

一致定理是布尔代数中的一个重要定理，用于求解和简化布尔函数。

声明

一致定理指出，当函数中的项互为倒数时(如a和a̅)定义析取的一致项。一致定理有两种表述(范式及其对偶)。他们是

ab +āc+ bc = ab +āc

(a + b)(Ā+ c)(b + c) = (a + b)(Ā+ c)

共识定理的证明

声明1：ab +āc+ bc = ab +āc

Ab + Āc + bc = Ab + Āc + bc

= AB + ĀC + BC (A + Ā)→since A + Ā = 1

= ab + Āc + ABC + Ābc

= ab (1 + c) + Āc (1 + b)

= AB + ĀC→since 1 + B = 1 + C = 1

例子

利用一致定理，证明了A ' bd ' + BCD + ABC ' + AB ' d = BC ' d ' + AD + A ' BC

索尔:

A ' bd ' + BCD + abc ' + ab ' = A ' bd ' + BCD + abc ' + ab ' + A ' bc + bc ' + abd

= AD + a ' bd ' + BCD + abc ' + a ' bc + bc ' '

= AD + a ' bc + bc ' d

一致定理的对偶

一致定理对偶的表述是

(A + B) (B + C) (' + C) = (A + B) (A + C)

证明

步骤1:缩小等式左边

（A + B）（B + C）（A'+ C）=（（A + B）（B + C））（A'+ C）

=(ab + ac + bb + bc)(a ' + c)

= (ab + ac + b + bc) (a ' + c)

=(ab + ac + (b + bc)) (a ' + c)

=（ab + ac + b）（a'+ c）

= (b + ab + ac) (a ' + c)

= ((b + ab) + ac) (a ' + c)

= (b + ac) (a ' + c)

= a 'b + BC + aa 'c + acc

= a 'b + BC + 0 + ac

= a 'b + BC + ac

第二步:缩小等式的右边

(a + b) (a ' + c) = aa ' + a ' b + ac + BC

=0 + a 'b + ac + BC

= a 'b + ac + BC

现在我们可以看到，r.h.s.= L.H.S.

由此证明了一致度定理的对偶性。

香农定理的扩张

著名的理论学家和数学家克劳德·香农在研究布尔代数函数的简化问题后提出了一些公式。这就是香农展开式定理。它们用于展开关于单个变量的布尔函数。

定理1:

f (A1,A2, A3， . . . .艾，. . . .An) = Ai。f (A1, A2, A3， . . . .1、…A)+ A̅i。(a1, a2, a3， . . . .0，…一个)

例子:

f (A, B, C, D, E, f) = C。f(A, B, 1, D, E, f) + C̅。f (A, B, 0, D, E, f)

定理2:

f（a1-，a2，a3，...。。。。。。。。。.An.na）= [ai + f（a1，a2，a3，...。。。。a）]。[a̅i+（a1，a2，a3，...。。。1，...... a）]

例子:

f (A, B, C, D, E, f) = (C + f (0 A、B、D、E、f)]。[C̅+ f (A, B, D, E, f))

利用香农展开定理简化布尔函数

练习1:

利用香农展开定理展开给定的布尔函数。

(A, B, C, D) = A B̅+ (A C + B) D

已知函数是

f（a，b，c，d）= a b +（c + b）d

=[1。B̅+(1。C) b) d) C) d)B̅+(0。答案:C

= A [B +（C + B）D] + A̅[B D]

= a b̅+ a (c + b) d + a̅b d

练习2:

利用香农展开定理展开给定的布尔函数。

f（a，b，c，d）=a̅c+（b + ad）c

索尔:

给定的函数

(A, B, C, D) = A̅

= a[1̅.]C + (b + 1)[答案]DC +（b + 0.d）c]

= a [0。C +（B + D）C] + A [1。C +（b + 0.d）c]

= a (b + d) c + a̅(c + bc)

香农的减少定理

利用Shannon的约简定理对单变量布尔函数进行约简。

定理1:

人工智能。f(A1, A2, A3， . . . .艾，. . . .， An) = Ai。f(A1, A2, A3， . . . .1、. . . .一个)

Ai+ f(A1, A2, A3， . . . .艾，. . . .= Ai+ f(A1, A2, A3， . . . .0， . . . .一个)

例子:

B。f (A, B, C, D, E, f) = B。(A, 1, C, D, E, f)

B + f (A, B, C, D, E, f) = B + f (0 C, D, E, f)

定理2:

(A_i)̅。f(A1, A2, A3， . . . .艾，. . . .， An) = (A_i)̅。f(A1, A2, A3， . . . .0， . . . .一个)

（a_i）̅+ f（a1，a2，a3，...。。。。。。。。。。，a）=（a_i）̅+ f（a1，a2，a3，...。。。。。。。。。。。一个)

例子:

B̅。f (A, B, C, D, E, f) = B̅。f (A, 0, C, D, E, f)

̅B + f (A, B, C, D, E, f) = B̅+ f (1 C, D, E, f)

利用香农约化定理简化布尔函数

练习1:

利用香农约化定理展开给定的布尔函数。

A [A̅(B + C) + (A + D)] [B + C] + (A + D)]

已知函数是

A [A̅(B + C) + (A + D)] [B + C] + (A + D)]

=一个。[1 ' (b + c) + (1 + d)]

=一个。[0 (b + c) + (1 + d)]

=广告

练习2:

利用香农约化定理展开给定的布尔函数。

f (A, B, C, D) = A + A ' B + A ' (B + C) (B + D)

已知函数是

f (A, B, C, D) = A + A ' B + A ' (B + C) (B + D)

= a + 0 ' b + 0 c ' (b + c) (b + d)

= a + 1。B

= a + b