布尔逻辑 - SOP形式，POS形式

布尔函数表示

开关器件如晶体管的使用产生了布尔代数的一种特殊情况，称为开关代数。在交换代数中，所有的变量都假设为0和1这两个值中的一个。

在布尔代数中，0用于表示“打开”状态或“假”状态的逻辑门。类似地，1用于表示“关闭”状态或“真正”逻辑门状态。

布尔表达式是由变量、常量(0-false和1-true)和逻辑运算符组成的表达式，其结果为真或假。

布尔函数是布尔表达式的代数形式。一个n个变量的布尔函数用f(x1, x2, x3....xn)表示。利用布尔定律和定理，可以简化数字电路的布尔函数。下面是表示布尔函数的不同方法的简要说明。

• Sum-of-Products (SOP)的形式
• Product-of-sums (POS)的形式
• 规范的形式

有两种类型的规范形式:

• 总和术语或典型的SOP
• 最大项乘积或规范POS

布尔函数可以用与非门表示，也可以用K-map (Karnaugh map)方法表示。我们可以通过使用两种标准形式来标准化布尔表达式。

SOP形式-产品的总和形式

POS形式 - SUMS表格的产品

布尔方程的标准化将使其实现、演化和简化更容易、更系统。

产品总和（SOP）形式

产品总和（SOP）形式是简化逻辑门的布尔表达的方法（或形式）。在这种SOP形式的布尔函数表示中，变量由并（产品）操作，以形成产品项，所有这些产品术语都是（求和或添加）一起以获取最终功能。

通过使用布尔加法运算将两个或多个乘积项相加(或求和)，可以形成乘积和形式。这里乘积项是用AND运算定义的，和项是用OR运算定义的。

积和形式也称为析取范式，因为积项是或的，析取运算是逻辑或的。积和形式也称为标准SOP。

SOP形式表示最适合在FPGA (Field Programmable Gate Arrays)中使用。

例子

Ab + ABC + cde

(ab)̅+ ABC + CD e̅

可以通过SOP形式获得

• 为每个输入组合写一个和术语，它产生高输出。
• 如果值为1，则编写输入变量，如果值为0，则编写变量的补数。
• 或与项，以获得输出函数。

函数F = A ' bc + AB ' c + ABC ' + ABC的布尔表达式

真理表：

现在将输入变量与高输出组合写。f = ab + bc + ac。

检查

通过幂等法律，我们知道

([abc + abc)] + abc) = (abc + abc) = abc

函数F = A ' bc + AB ' c + ABC ' + ABC

= a ' bc + ab ' c + abc ' + ([abc + abc)] + abc)

= (abc + abc ') + (abc + ab ' c) + (abc + a ' bc)

= AB（C + C'）+ A（B + B'）C +（A + A'）BC

= ab + BC + ac。

乘积和(POS)形式

和积形式是简化逻辑门布尔表达式的一种方法(或形式)。在这种POS形式中，所有变量都是or，即写成和，形成求和项。

所有这些总和术语都是（乘以）一起获得总和的形式。该形式与SOP形式完全相反。因此，这也可以被称为“SOP形式的双重形式”。

这里，通过使用和操作来定义和术语，并且通过使用和操作来定义产品项。当两个或多个术语乘以布尔或操作时，所得到的输出表达式将以总和的形式或POS形式的形式。

除了总和术语和结合术语和结合操作是合乎逻辑的，也称为总和形式的形式也称为联合正常形式。总和的形式也称为标准POS。

例子

(a + b) * (a + b + c) * (c + d)

（A + B）̅*（C + D + E̅）

POS表格可以通过

• 为每个输入组合写一个OR项，产生LOW输出。
• 如果值为0，则编写输入变量，如果值为1，则编写变量的补数。
• 和或项，以获得输出函数。

函数F = (A + B + C) (A + B + C ') (A + B ' + C) (A ' + B + C) (A ' + B + C)

现在将输入变量与高输出组合写。f = ab + bc + ac。

检查

通过幂等法律，我们知道

[(A + B + C) (A + B + C)] (A + B + C) = ((A + B + C)) (A + B + C) = (A + B + C)

现在的函数

f =（a + b）（b + c）（a + c）

= (A + B + C) (A + B + C”)(A + B + C) (A + B + C)

= [(A + B + C) (A + B + C)] (A + B + C) (A + B + C”)(A + B + C) (A + B + C)

= [(A + B + C) (A + B + C ‘)] [(A + B + C) (A’ + B + C)] [(A + B + C) (A + B’ + C)]

= [(A + B) + (C * C ')) ((B + C) + (*)) ((A + C) + (B * B”)

= [(A + B) + 0] [(B + C) + 0] [(A + C) + 0) = (A + B) (B + C) (A + C)

规范形式（标准SOP和POS形式）

任何表示为项的和或项的乘积的布尔函数都称为其“规范形式”。

它主要涉及两个布尔术语“minterms”和“maxterms”。

当布尔表达式的SOP形式处于规范形式时，其每个产品项称为“Minterm”。因此，产品功能的规范形式的功能也称为“Minterm Canonical形式”或Minterms或标准规范SOP形式。

类似地，当布尔表达式的POS形式处于规范形式时，其总和项中的每一个都称为“maxterm”。因此，总和函数的规范形式的乘积也称为“Maxterm规范形式或总和或标准规范Pos形式”。

最小条件

Minterm被定义为N个变量的产物项，其中N变量中的每一个都将以其补充或不合格的形式出现。最小术语表示为Mi，其中I在0≤i<2ⁿ的范围内。

如果将变量的值赋值为0，则该变量为补充形式;如果将变量的值赋值为1，则该变量为非补充形式。

对于一个2变量(x和y)布尔函数，可能的项是:

X ' y '， X ' y, xy '和xy。

对于3个变量(x, y和z)的布尔函数，可能的项是:

x x没有'z’,没有'z x 'yz’,x 'yz, xy 'z、xy 'z xyz, xyz。

• 1 - Minterms =函数F = 1的Minterms
• 0 - Minterms =函数F = 0的Minterms。

任何布尔函数都可以表示为其1分钟项的和(或)。方程的表示将是

• F(变量列表)= Σ(1分钟指标列表)

解:F (x, y, z) = Σ (3,5,6,7)

该函数的倒数可以表示为其0-最小术语的总和（或）。方程的表示将是

• F(变量列表)= Σ(0-min term index列表)

解:F ' (x, y, z) = Σ (0,1, 2,4)

乘积和表达式的标准形式示例(最小项标准形式):

i) Z = XY + XZ '

ii) F = XYZ ' + X ' yz ' + X ' yz ' + XY ' z + XYZ

在标准的SOP形式中，n个变量的最大可能乘积项由2ⁿ给出。对于两个变量的方程，乘积项是22 = 4。类似地，对于3个变量的方程，积项是23 = 8。

马克斯条款

最大术语被定义为n变量的乘积，在0≤i<2¾的范围内。最大术语表示为mi.在最大术语中，如果将其值分配给1，则会赞美每个变量，如果将其值分配为0，则每个变量是不协调的。

对于一个2变量(x和y)布尔函数，可能的最大项是:

X + y, X + y '， X ' + y和X ' + y '。

对于3变量（x，y和z）布尔函数，可能的maxterms是：

x + y + z, x + y + z’, x + y’ + z, x + y’ + z’, x’ + y + z, x’ + y + z’, x’ + y’ + z and x’ + y’ + z’.

• 1 -最大项=函数F = 1的最大项。
• 0 -最大项=函数F = 0的最大项。

任何布尔函数都可以表示其0 - 最大术语的产品（和）。方程的表示将是

• F(变量列表)= Π(0-最大项索引列表)

解:F (x, y, z) = Π (0,1, 2,4)

函数的逆可以表示为它的1 - max项的乘积(AND)。方程的表示将是

• f（变量列表）=π（1-max项索引的列表）

解:F ' (x, y, z) = Π (3,5,6,7)

和积表达式的标准形式的例子(最大项标准形式):

i. Z = (X + Y) (X + Y ')

2F = (x ' + y ' + z ') (x ' + y + z) (x ' + y ' + z ')

在标准POS形式中，n个变量的最大可能和项由2ⁿ给出。因此，对于两个变量的方程，和项是22 = 4。类似地，对于3个变量的方程，求和项是23 = 8。

表为2n min项和2n max项

下表将让您了解均值的表示和最大条款的3个变量。

规范形式的转换

我们可以代表其他规范形式的一个规范形成的等式。我们可以代表POS形式的SOP形式和SOP形式中的POS形式方程。要转换规范方程，我们在列出了从原始方程式中排除的等式的索引号后互换Σ和π符号。

要记住布尔函数的重要事项是，SOP和POS表单是双重的。转换方程的规范形式有2个步骤。他们是

步骤1:交换方程中的运算符号Σ和Π。

第二步:使用De Morgan的对偶性原理对布尔函数的索引数，或者对没有以给定的方程形式出现的项写索引。

将SOP表单转换为POS表单

要将SOP表单转换为POS形式，首先要将Σ更改为π，然后写出给定布尔函数的缺失变量的数字索引。

例子:

SOP功能

f =Σa，b，c（0,2,3,5,7）='b'c'+ a b'c'+ a b'c + abc'+ abc被pos形式写入pos形式

步骤1:将操作符号更改为Π

步骤2:写出术语001、100和110缺失的索引。现在写出这些标注项的求和形式。

001 = 100 = (A + B + C) (A + B + C) 110 = (A + B + C)

以POS形式的形式写下新的等式，

f =πa，b，c（1,4,6）=（a + b + c）*（a + b'+ c'）*（a + b'+ c'）

将POS表单转换为SOP形式

要将POS形式转换为SOP形式，首先将Π改为Σ，然后写出给定布尔函数中缺失变量的数值索引。

例如：POS函数f =πa，b，c（2,3,5）= a b'c'+ a b'c + abc'是用sop形式写入的

步骤1:将操作符号更改为Σ

步骤2:编写术语000、001、100、110和111缺失的索引。现在写出这些标注术语的乘积形式。

000 ='* * b'* c'001 = a'* b'* c 100 = a * b'* c'

110 = a * b * c'111 = a * b * c

将新的方程写成SOP形式，

F =ΣA, B, C(0、1、4、6、7)= (A * B的* C ') + (A * B的* C) + (A * B * C) + (A * B * C”)+ (A * B * C)

将SOP格式转换为标准SOP格式或规范SOP格式

我们可以在SOP形式方程的每个产品项中包含所有变量，这通过转换成标准SOP形式没有所有变量。通过使用布尔代数法（A + A'= 1）和以下步骤，可以将正常的SOP形式功能转换为标准SOP形式。

步骤1:

通过将每个非标准产品术语乘以其缺失变量及其补充的总和，这导致2个产品术语

步骤2:

通过重复步骤1，直到所有结果项包含所有变量

通过这两个步骤，可以将SOP函数转换为标准的SOP函数。在这个过程中，对于函数中每一个缺失的变量，乘积项的数量都会翻倍。

例子:

转换非标准SOP函数F = x y + x z + y z

溶胶：

F = x y + x z + y z

= x y (z + z ') + x (y + y ') z + (x + x ') yz

= x y z + x y z'+ x y z + x y'z + x y z + x'y z

= x y z + x y z ' + x y ' z + x ' y z

标准SOP形式是f = x y z + x y z'+ x y'z + x'y z

POS形式转换为标准POS形式或规范POS形式

我们可以在POS形式方程的每个产品项中包含所有变量，通过转换为标准POS形式没有所有变量。可以通过使用布尔代数法（A * a'= 0）并通过以下步骤将正常的POS形式函数转换为标准POS形式。

步骤1:

通过向其缺失变量及其补充的乘积添加每个非标准的术语，这会导致2和条款

步骤2:

应用布尔代数定律，A + BC = (A + B) * (A + C)

步骤3:

通过重复步骤1，直到所有求和项包含所有变量

通过这三个步骤，我们可以将POS函数转换为标准POS函数。

例子:

F = (A + B + C) * (B + C + D) * (A + B + D ' + C”)

在第一项中，缺少变量D或D '，所以我们加上D*D ' = 1。然后

（a'+ b + c + d * d'）=（a'+ b + c + d）*（a'+ b + c + d'）

同样，在第二个术语中，丢失变量A或''，因此我们将* a'= 1添加到它。然后

（B'+ C + D'+ A * A'）=（A + B'+ C + D'）*（A'+ B'+ C + D'）

第三项已经是标准形式了，因为它有所有的变量。函数的标准POS形式方程是

F = (A + B + C + D) * (A + B + C + D) * (A + B + C + D) * (' + B + C + D ') * (A + B + D ' + C”)