巴特沃斯滤波器是一种有源滤波器，其通过频带的频率响应是相对平坦的。因为这个频率响应，巴特沃斯滤波器也被称为最大平坦滤波器或平坦滤波器。
使用巴特沃斯滤波技术，你可以设计所有类型的滤波器，如高通，低通，带通等。在本教程中，我们将集中讨论使用巴特沃斯滤波器技术设计低通滤波器。
关于典型低通滤波器的更多信息，无论是主动的还是被动的，阅读这些教程:西汉姆必威被动低通过RC过滤器“ 和 ”主动低通滤波器”。
大纲
介绍
设计过滤电路主要有三种考虑因素
- 通频带的响应必须是最大的平整度。
- 从通带到阻止带必须有一个缓慢的过渡。
- 过滤器通过信号的能力而不在通带内的失真。
这些扭曲通常由波形的相移引起。除了这三个上升和下降时间参数还发挥着重要作用。通过对每次考虑进行这些考虑，设计了一种类型的过滤器。
对于最大扁平响应，设计Butterworth滤波器。对于从通过带缓慢过渡到停止频段，Chebyshev滤波器设计并为最大平平时滞贝塞尔过滤器设计。
Butterworth Filter.
在从通带的过渡介质中陡峭的陡度以停止频段，该Butterworth滤波器将在输出信号中提供平坦的响应。因此，它也称为最大平坦的幅度过滤器。
滤波器的衰减响应速率由电路中拍摄的磁极的数量决定。极值将取决于电路中的反应元件的数量，这是电路中使用的电感器或电容器的数量。
n阶Butterworth滤波器的幅值响应如下:
V.出/ V.在= 1 /√{1 + (f / fC）2N}
其中n为电路的磁极数。随着“n”值的增加，滤波器响应的平坦度也会增加。
'f'=电路的工作频率和'fC'=电路的中心频率或切断频率。
这些过滤器具有预先确定的考虑因素，其应用主要在较高频率下的有源RC电路。即使它没有提供急剧截止响应，它通常被认为是在许多应用中使用的全圆过滤器。
巴特沃斯近似
如我们所知，为了满足滤波器响应的考虑，并使近似接近理想滤波器，我们需要有高阶滤波器。这将增加复杂性。
我们还知道低通和高通电路的输出频率响应和相位响应。理想的滤波器特性是最大平坦度，最大通带增益和最大阻带衰减。
要设计过滤器，需要适当的传输功能。为了满足这些传递函数，数学推导是用多种近似函数的模拟滤波器设计进行的。
在这种设计中，巴特沃斯滤波器是一种滤波器类型。低通巴特沃斯设计主要考虑了很多功能。稍后我们将讨论归一化低通巴特沃斯滤波器多项式。
一阶低通巴特沃思滤波器
下面的电路显示低通乳酪滤波器。
Butterworth滤波器的所需通带增益将主要取决于“R1”和“RF”的电阻值，并且滤波器的切断频率将取决于上述电路中的R和C元素。
滤波器的增益作为A_MAX = 1 + R1 / RF给出
电容“C”的阻抗由-jX给出C并且给出电容器两端的电压，
V.C= - JX.C/（r - jxC）* vin。
其中xc = 1 /（2πfc），电容电抗。
滤波器的极坐标传递函数为
h（jω）= | VOUT / VIN |∟Ø
滤波器V的增益在哪里出/ V.在=一个马克斯/√{1 + (f/fH）²}
和相位角Ø= - 棕褐色－1(f / fH）
在较低的频率是指当工作频率低于截止频率时，通带增益等于最大增益。
V.出/ V.在=一个马克斯即常数。
在更高的频率意味着当工作频率高于截止频率时，增益小于最大增益。
V.出/ V.在<一个马克斯
当工作频率等于截止频率时，传递函数等于Amax /√2。增益的衰减速率为20dB/decade或6dB/octave，可以用响应斜率-20dB/decade表示。
二阶低通巴特韦尔滤波器
连接到第一阶Butterworth滤波器的额外RC网络为我们提供了第二顺序低通滤波器。该二阶低通滤波器的优点是，在截止频率之后，在截止频段之后的增益折回非常快。
在该二阶滤波器中，截止频率值取决于两个RC部分的电阻器和电容值。截止频率使用以下公式计算。
FC= 1 / (2π√r2C2）
增益以40dB /十年的速度滚动，并且该响应显示在斜坡-40db /十年中。滤波器的传递函数可以给出
V.出/ V.在=一个马克斯/√{1 + (f/fC）4.}
给出了二阶滤波器的标准传递函数形式
V.出/ V.在=一个马克斯/ s.2+2εΩNs +ωN2
在ωN=振荡的固有频率= 1/R2C2
ε=阻尼因子=（3 - a马克斯）/ 2
对于二阶巴特沃斯滤波器，所需的中项是根号(2)= 1.414，从归一化巴特沃斯多项式为
3 -马克斯=√2 = 1.414
为了具有安全的输出滤波器响应，需要增益a马克斯是1.586。
通过级联一阶和二阶巴特沃斯滤波器得到高阶巴特沃斯滤波器。这可以说明如下:
哪里A.N和bN是预先确定的滤波器系数，这些系数用于生成所需的传递函数。
巴特沃斯滤波器的理想频率响应
随着滤波器的顺序增加，输出响应的平坦度会增加。下面给出了不同订单的Butterworth滤波器的增益和标准化响应。
归一化低通巴特沃思滤波器多项式
归一化是将电压、电流或阻抗除以同一测量单位的量的过程。这一过程被用来制作一个无量纲的范围或特定值的水平。
滤波器传递函数的分母多项式给出了Butterworth多项式。如果我们考虑具有相同半径的圆圈上的S平面，其中心处于原点，则Butterworth滤波器的所有极点位于该平面的左半部分。
对于任意阶滤波器，s的最高次幂的系数总是1，对于任意阶滤波器，常数项总是1。对于偶数阶滤波器，所有的多项式因子本质上都是二次的。对于奇阶滤波器，所有的多项式都是二次的，除了一阶，一阶滤波器的多项式是1+s。
系数形式的巴特沃斯多项式如下表所示。
第n个阶Butterworth滤波器的传递功能如下给出
H(jω) = 1/√{1 + ε²(ω/ωC）2N}
其中n是过滤器的顺序
ω是弧度频率，它等于2πf
ε是最大通带增益，即Amax
巴特沃斯低通滤波器示例
让我们考虑具有截止频率15.9 kHz的Butterworth低通滤波器，并且通过带带增益1.5和电容C =0.001μF。
FC= 1/2πRC
15.9 *10³= 1 / {2πr1* 0.001 * 10-6}
r =10kΩ.
一种马克斯= 1.5，设R1为10 kΩ
一种马克斯= 1 + {rF/ R.1}
R.F=5kΩ.
三阶巴特沃思低通滤波器
通过一阶和二阶巴特沃思滤波器的串级连接，得到三阶巴特沃思滤波器。三阶巴特沃思滤波电路如下图所示。
对于三阶低通滤波器，由给定的归一化低通巴特沃斯多项式得到的多项式为(1+s) (1+s+s²)。该滤波器包含三个未知系数，它们是a0.一种1一种2。
这些的系数值是a0.= 1，一个1= 2和a2= 2。与一阶滤波器相比，三阶巴特沃斯滤波器的曲线平整度增加。
应用程序
- 由于其最大的扁平通带性质，它用作数据转换器应用中的抗混叠滤波器。
- 它在雷达中有广泛的应用，如设计雷达目标航迹显示。
- 在高质量的音频应用中，使用这些。
- 它们用于数字滤波器以进行运动分析。
