在数学上，复杂的数字是实数和虚数的组合。相量由复数平面中的复数表示。
该复数表示表示正弦波的幅度和相位，我们可以分析电路的特性。正弦波形是时间的函数，并在时域中表示。
通常，Phasor变换方法用于求解与变换时间T的功能的波形相关的方程，以使弧度频率W的功能。
频域方程是较容易求解的代数方程，而时域方程是偏微分方程。
因此，复数表示便于易于解决未知相量的代数方程。让我们讨论复杂的数字及其操纵技术。
大纲
复数
虚数是负数的平方根。虚数由虚构的单元或j运算符组成，这是√-1的符号。该J操作员用于简化虚数。考虑可以简化为√-1×√4=j√4= j2的√-4。
复杂数字的操纵比实数更复杂，这就是为什么这些被命名为复数。复杂的数字由两部分组成，即由加号或减号连接的实体部分和虚部，如下所示。
例子：
复杂数的虚部被称为“虚数”。我们表示，通过英文字母'i'（小写）或j。我们称之为“i-operator”。将I算子放在假想号之前，以表示虚构部分。例如：i3，i432，i6等
复数在2维笛卡尔平面中表示。这也被称为“S平面”。轴称为“横轴”和“垂直轴”。垂直轴也称为“真实轴”，它由Y表示。它表示正弦波的大小范围或电压。
类似地，横轴称为“虚构轴”。它由X表示。它表示正弦波的时间段和相位差。在图形方法中，我们将复数号的真实和虚部的轴代表为Re（z）和IM（z），其中z是矩形形式的复数，z = a + 1b。
这里复杂数的真实部分也称为“活动部分”和虚部被称为“反应部分”。
复杂数学的数学运作规则
- 添加和减法：另外的虚数的减法操作，我们使用一般的数学规则作为实数，即在添加或减去两个假想的数字时，我们得到另一个虚数。前：I9 + I5 = I14。
- 乘法：虚数的乘法遵循不同的规则。也就是说，如果任何两个想象的乘以，我们得到一个实数。前：i2 * i3 = 6。
注意:我们也可以把实数写成复数，取虚部系数为0。
例如：6可以用复杂的数字写入6 + I0。
矢量旋转i-算子
通常，电压和电流和它们的相位关系由电矢量表示，其中载体的长度表示在相对于参考轴的方向上涉及的该数量的大小表示在正电压和电流的正最大值之间的时间间隔。
为了在其x和y组件方面指定这些向量，我运算符用于区分X轴和y轴投影。
这是因为Y轴投影是+900.从X轴投影。该I操作员旋转向量而不改变其幅度。因此，当+ i运算符被应用于向量的乘法因子时，它产生900.逆时针旋转和-i运算符产生900.顺时针旋转其作为乘以因子的任何向量。
+ I运算符到向量的连续乘法将产生连续900.沿逆时针方向旋转矢量的步骤，而不会影响该载体的大小。
类似地，-i运算符到向量的连续乘法将产生连续900.如下所述的顺时针方向旋转向量的步骤。
i1 =√-1 = + i»旋转向量900.（逆时针）
I2 = I * I =(√-1)2 = -1旋转向量1800.（逆时针）
I3 = I2 * i =（√-1）3 = -i»旋转向量2700.（逆时针）
i4 = i3 * i =（√-1）4 = +1»旋转向量3600.（逆时针）
同理，顺时针旋转表示为
-i1 =-∞-1 = -i»旋转向量-900.（顺时针）
-i2 = -1»旋转向量-1800.（顺时针）
- （i）3 =√-1»旋转矢量-2700.（顺时针）
- （i）4 = 1»旋转矢量-3600.（顺时针）
复杂数字表示
复数通常有两种表示方法，它们是
- 笛卡尔或矩形形式
- 使用S飞机
使用矩形形式的复数
如前所述，复数用矩形形式表示为Z = a + ib。
其中，z是复数
a是矢量的真实部分
B是矢量的虚构部分
I是虚部系数。它的值是√-1。
例如：如果z = 2 + i3则'2'表示实数，并且'3'表示虚部。
使用复杂或S平面的复数
在S平面表示方法中，复数表示为笛卡尔平面或S-平面的点。例如，考虑z = 2 + 4i，其中2是实部，4是虚构的部分。它在S平面中表示，如下所示。
这里，复数（2）的真实部分由从正水平轴上的原点绘制的线绘制2个单位表示。虚部（4i）由延伸4个单元从正垂直轴上的原点表示。
因此，始终假设虚拟值沿y轴或垂直轴绘制，并且沿X轴或水平轴绘制的实值。
四个象限argand图
如果一个实数乘以-1，结果是将点从原点的一边移动到另一边。假设+2乘以-1或j2，新位置相当于旋转180度0.从旧位置。
该乘以j作为矢量旋转的这种概念是在交流电路中使用复数的基础。该概念导致称为表示复数的Argand图的图表。
在Argand图中，复数的实数在X轴上表示，即Re（z）。复数号的虚部表示在y轴上。im（z）表示。在笛卡尔平面中，复数号被定义为（a，b）。
在Argand图上，横轴表示垂直虚轴右侧的所有正实数，以及垂直虚构轴的左侧的所有负实数。正面假想数表示在原点上方，负虚数在原点上表示在原点，垂直轴上。
以相同的方式，所有正实数在原点的右侧表示，并且所有负数数字在原点的左侧表示在水平轴上。因此，形成具有4个坐标的复杂平面。
阿根图用来表示矢量旋转，其中矢量的长度等于复数的大小。每2π/ω秒完成一个周期。
0.0.=±3600.= + 1 = 1∠00.= 1 + i0
+ 900.= +√-1 = + i =1¼+ 900.= 0 + i1
- 900.= - √-1 = - i =1¼-900.= 0 - I1
±1800.=（√-1）2 = - 1 = 1÷±1800.= - 1 + I0
具有零真实部件的复数被称为“纯虚数”。例如：z = 0 + I2。
虚部为零的复数称为“纯实数”。例:Z = 2 + i0。
角度和象限
0.0.到90.0.→第一象限(I)。
90.0.到180年0.→第二象限（II）。
180.0.到270.0.→第三象限（III）。
270.0.到360.0.→第四象限（IV）。
我们可以通过使用找到复数的相关相位角
Tan-1(虚分量÷实分量)
所有四个象限的复数阿根图如下所示。
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|---|---|---|---|
| 1 |  |
A是积极的 B是积极的 论证是积极的 |
Ø=晒黑1[b / a] |
| 2 |  |
a是消极的 B是积极的 论证是积极的 |
Ø=π+棕褐色1[b / a] |
| 3. |  |
a是消极的 B是消极的 论点是负的 |
Ø=-π+棕褐色1[b / a] |
| 4. |  |
A是积极的 B是积极的 论点是负的 |
Ø=晒黑1[b / a] |
添加和减法复数
如果需要对复数进行加减等数学运算，首先要将复数分解为实部和虚部。
为了添加两个复数，添加真实部件并添加虚部。
如果第一个复数是p = a + ib，第二个复数号是q = x + iy，则给出两个复数的总和
p + q =（a + x）+ i（b + y）
p + q =（a - x）+ i（b - y）
同样地，要减去两个复数，我们要减去实部，减去虚部。
给出了两个复数的差异
p + q =（a - x）+ i（b - y）
例子
找到给定的两个复数号的总和和差异。a = 2 + i4和b = 4 + i3。
添加
p + q =（2 + i4）+（4 + i3）
=（2 + 4）+ i（4 + 3）
= 6 + i7
减法
p + q =（2 + i4） - （4 + i3）
=（2 - 4）+ i（4 - 3）
= -2 + i1
图形添加和减法
添加复数的方法与使用载体平行四边形的两个向量的添加方法。下图说明了使用图形方法的3 + 4i和-4 + 2I复数的添加方法。
图解法(-2 + 2i)减去(3 + 4i)如下图所示。
复杂数字的乘法和分割
复数乘以二项式乘法并记住j2 = -1的方式相同的方式。
考虑两个复数(a+bi)和(c+di)，其乘法运算如下
（a + bi）x（c + di）= a（c + di）+ bi（c + di）
= AC + ADI + BCI + BD I2
= AC + ADI + BCI + BD（-1）
= ac + adi + bci - bd
=（ac-bd）+（广告i + bc i）
= (ac -bd) + (ad + bc) I
假设如果两个复数（2 + 3i）和（4 + 5i），则其乘法是
(2 + 3i) x (4 + 5i) = 2(4 + 5i) + 3i
= 8 + 10i + 12i + 15i2
= 8 + 22i + 15(-1)
= 8 + 22i -15
= -7 + 22 i
分配
以相同的方式划分复数，其中批量在分母中划分包含自由基的方式。它涉及找到分母的共轭。
我们来看一个复数除法的例子。
例子
（4 + 2i）÷（3 - i）
（（4 + 2I））/（（3 - I））=（（4 + 2i））/（（3 - I））×（（3+ i））/（（3+ i））
=(12 + 4我+ 6 + 22）/（9 + 3i-3i-i2）
= (12 + 10 + 2 (1)) / (9 - (1))
=（10 + 10i）/ 10
= (1 + 1) / 1
= 1 + i
因此，（4 + 2i）÷（3 - i）= 1 + i。
复杂共轭
复杂数的复杂缀合物是相同的数字，除了虚构部分的符号改变。通过反转虚数量的标志获得的复数。
找到共轭时，实体部分的标志变得不变。共轭复数号由符号Z *表示。
例如，Z = 4 + i5的复共轭是Z * = 4 - i5
复数和其缀合物将具有相同的幅度，并且它们在X轴上具有相同的水平位置，但它们在Argand图中完全相反的垂直位置。
要记住的事情
- 复数和其共轭的总和始终是实数（活动组件）。
（4 + i5）+（4 - I5）= 8（实数） - 复数和其缀合物的减法始终是假想数（反应性分量）。
（4 + i5） - （4 - I5）= 10i（虚数数） - 通常，复杂的共轭数用于以矩形形式找到交流电的表观功率。
使用极性形式的复数
复数可以用极坐标和直角坐标表示。如前所述，矩形复数由实部和虚部组成。在极坐标形式下，复数用大小和角度表示，即Z
a¼±θ。这里A是载体的大小，并且θ是相位角。它可能是积极的或消极的。
北极表格表示复数
用极坐标表示复数，使用三角形的基本三角概念和毕达哥拉斯定理来求出大小和与轴的夹角。
笛卡尔平面中复杂数x + IY的极性形式表示在上图中示出。这里R是由复数的三角形的所得到的矢量或对角线。
通过应用Pythagoras的定理，我们得到了
Z.2= x2 + y2
Z =√(x2 + y2)
矢量分量可以写成，x = zcos θ y = zsin θ。
用真实轴制造的角度给出
θ= tan.1Y/x.
极性形式表示复数的长度和角度。复数和其缀合物具有相同的幅度（模数），它们具有相反的角度。
例:复数为5，∠600.及其共轭数5∠-600.具有相同的幅度。
复数的转换
在分析电子电路时，需要将复数从一种形式转换为另一种形式。以矩形形式，我们分别代表实际轴（水平轴）和虚轴（垂直轴）上复数的实数和虚部。
但是在极性形式中，复数表示为∠θ。现在让我们了解极地形式和矩形形式的关系和转换，反之亦然。
极性形式的转换为矩形形式（P→R）
极坐标到直角坐标的转换涉及到求三角函数的水平和垂直分量，以便得到x + iy(直角坐标)的实部和虚部。
考虑以下示例以转换复数4∠30的极性形式0.变成矩形。
向量分量等于复数x + iy的实部和虚部。因此,
x = cosθ和y =sinθ
让4∠300.= X + IY
4∠300.=（4cosθ）+ i（4sinθ）
=（4 cos 300.）+我（4 SIN 300.）
=（4 x 0.866）+ i（4 x 0.5）
= 3.464 + I2
因此，极性形式的复数4∠300.等于Z = 3。464 + i2。
矩形形式转化为极性形式，（R→P）
矩形到极性形式的转换涉及使用Pythagoras的直角三角形定理，由复杂数x + Iy与水平和垂直轴线形成在坐标平面中。
考虑该示例以将矩形形式的复数3.464 + I2转换为极性形式的等效数字。
设(3.464 + i2) = A∠θ
这里a =√（3.462+22）= 3.99（约4）
和θ= tan(1)2/3.46 = 30.0.
因此，矩形形式Z = 3.464 + I2中的复数等于4±300.在极性形式。
极坐标形式的乘法
执行添加和减法的最简单方法是矩形形式，而极性形式是执行复数和分割的乘法和分割的最简单方法。
为了执行极性形成的复数的乘法，首先乘以它们的大小，然后加入它们的角度。
如果Z1和Z2是两个复数(极坐标)，则Z1 = A1∠θ1, Z2 = A2∠θ2。那么这两个数的乘法就是
∠Z1 x Z2 = (A1 x A2)∠θ1 +∠θ2
例:假设有两个复数，∠600.和5∠450.，那么它的乘法是
z1 = 2∠600.和z2 = 5∠450.
z1 x z2 =（a1 x a2）∠θ1+∠θ2
=（2 x 5）∠600.+ 450.。
= 105∠0.
极坐标形式划分
为了执行极数的划分操作，首先划分两次点的大小，然后减去角度。
(z1)/ z2 = (a1 / a2)∠θ1 -∠θ2
假设两个复数是2∠600.和4∠300.然后它的划分是如此
z1 = 2∠600.∠Z2 = 40.
(z1)/ z2 = (a1 / a2)∠θ1 -∠θ2
=（2/4）∠600.- ♥300.
=0.5¼300.
使用指数形式的复数
除了矩形形式（A + IB）或极性形式（A±±θ）表示复数，还有另一种方式来表示是指数形式的复数。
这类似于极性形式表示，涉及通过其幅度和相位角表示复数，但是具有指数函数e的基础，其中e = 2.718 281.复杂数的指数形式使用欧拉公式，例如Iθ.=COSθ+ JSINθ。
以指数形式给出复数的一般表示
z = a e0.Iθ.
其中θ是弧度
该方法表示作为笛卡尔平面中的旋转点的复数。这种指数形式使用复杂数x + IY的三角函数或矢量分量（正弦和余弦）。根据Euler身份的笛卡尔平面中的旋转相位图如下所示。
我们可以代表欧拉方法的任何复杂数字。Euler的身份允许我们将复数从指数形式转换为极性形式和矩形形式。
下面给出极性，矩形和指数形式之间的关系。
z = x + iy =a∠θ= a（cosθ+isinθ）
